Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”
（1）已知点P的坐标为（2，0） ①若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；
②若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为 ，求n的值；
（2）已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（﹣ ，0）、（ ，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．
（3）已知△ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，0）、B（ ，0），C（0，4），点P的坐标为（0， ），点Q的坐标为（m， ），若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵PQ= = = ，

∴S=πr2=5π．

②过点Q作QH⊥x轴于H．

∵HQ= =2，

∴Q点坐标为（3，2）或（3，﹣2）．

∴n=2或﹣2

（2）解：如图，

在Rt△OAC中，∠ACO=30°，

∴OC= OA=3，

∴C点坐标为（0，3），

∴△ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，

∴P（0，1），

设Q（x，2x），则有x2+（2x﹣1）2=1，

解得x= ，

∴Q（ ， ）

（3）解：如图3中，

①当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值 ．

②当相关圆经过点B时，半径有最大值 ，

∴﹣ ≤m≤﹣ ， ≤m≤

【解析】（1）①根据PQ= = = ，求出⊙P的半径即可解决问题；②过点Q作QH⊥x轴于H．利用勾股定理求出QH的值，即可解决问题；（2）在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC= OA=3，推出C点坐标为（0，3），推出△ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，推出P（0，1），设Q（x，2x），则有x2+（2x﹣1）2=1，求出x即可；（3）①当相关圆与AC、AB相切时，可得半径有最小值 ．②当相关圆经过点B时，可得半径最大值 ，由此即可解决问题；