Question

【题目】已知：抛物线C1：y=x2﹣2a x+2a+2 顶点P在另一个函数图象C2上
（1）求证：抛物线C1必过定点A（1，3）；并用含的a式子表示顶点P的坐标；
（2）当抛物线C1的顶点P达到最高位置时，求抛物线C1解析式；并判断是否存在实数m、n，当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，说明理由；
（3）抛物线C1和图象C2分别与y轴交于B、C点，当△ABC为等腰三角形，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵当x=1时，y=1﹣2a+2a+2=3，

∴抛物线C1必过定点A（1，3），

∵抛物线C1：y=x2﹣2ax+2a+2=（x﹣a）2﹣a 2+2a+2，

∴顶点P（a，﹣a 2+2a+2）

（2）解：∵yP=﹣a 2+2a+2=﹣（a﹣1）2+3≤3

∴当a=1时，P达到最高位置（1，3）

此时抛物线C1解析式为y=x2﹣2x+4，

∴y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，

∵当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，

∴3≤3m≤y≤3n，

∴1≤m≤n，

∴当1≤m≤x≤n，y随x的增大而增大，

∴当x=m时，y=3m，当x=n时，y=3n，

则 ，

解得： ，

∵1≤m≤n，

∴m=1、n=4；

（3）解：∵抛物线C1：y=x2﹣2ax+2a+2与y轴交于B点

∴B（0，2a+2）

∵函数yP=﹣x 2+2x+2图象C2与y轴交于C点

∴C（0，2）

∵A（1，3）

∴由勾股定理得AC= ，BC=|2a|，AB2=（2a﹣1）2+1

∵△ABC为等腰三角形，

∴①AC=BC ②BC2=AB2 ③AC2=AB2

∴ =|2a|或4a2=（2a﹣1）2+1或2=（2a﹣1）2+1，

∴ 或 或a=1或a=0（B与C重合，舍去），

即a=± 或a= 或a=1

【解析】（1）因为当x=1时，抛物线的值是3，所以抛物线C1必过定点A（1，3），用配方法写出抛物线的顶点式即可；（2）根据抛物线的顶点式得出P点达到最高位置的坐标，求出抛物线C1的解析式，通过分析讨论求出m、n的值；（3）由抛物线C1与y轴交于B点，得到B点坐标的表达式，由抛物线C2与y轴交于C点，得到C点坐标，根据勾股定理求出AC、BC、AB2的值，根据等腰三角形的性质，△ABC为等腰三角形求出a的值，此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.