Question

【题目】如图,在边长为2 的正方形ABCD中,点E是CD边的中点,延长BC至点F,使CF=CE,连接BE,DF.将△BEC绕点C按顺时针方向旋转.当点E恰好落在DF上的点H处时,连接AG、DG、BG,则AG的长是.

Answer 1

【答案】2
【解析】解：如图，过C作CK⊥DF于K，过H作HM⊥CF于M，过G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，

∵CD=2 ，CE=CF= ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：DF= ，
∵CK⊥DF，DC⊥CF，
∴∠FCK=∠CDF，
sin∠FCK=sin∠CDF= ，
∴ ，
∴FK=1，
∴CK= ，
由旋转得：CH=CE=CF，
∵CK⊥FH，
∴HF=2KF，
∴HF=2，
∴S△CHF= CFHM= HFCK，
HM=2×2，
HM= ，
∴CM= ，
∴tan∠HCF= ,
设HM=4x，CM=3x，则CH=5x，
∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，
∴cos∠CGN=cos∠HCF= = ，
∴GN= CG，
∵CG=BC=2 ，
∴GN= ×2 = ，
∴NC= = ，
∴GP=2 - = ，
∴AP=BN=BC-NC=2 - = ，
由勾股定理得：AG= .
所以答案是：2．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．