Question

【题目】(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AD= DC+AB，证明见解析；（2）AB= AF+CF，证明见解析.

【解析】

（1）AD=AB+DC，理由：延长AE交DC的延长线于点F，利用AAS证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，据此即可证得结论；

（2）AB=AF+CF，理由：延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；

（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠F，

在△AEB和△FEC中，，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠EAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠F，

∴∠EAD=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，

（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中， ，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF，