Question

【题目】如图，在△ABF中,以AB为直径的圆分别交边AF、BF于C、E两点，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分线，

(1)求证：直线CD是⊙O的切线．

(2)求证：△FEC是等腰三角形

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先判断出∠FAC=∠ACO，进而得出AF∥CO，即可得出结论；

（2）先用等腰三角形的三线合一得出AF=AB．再用同角的补角相等得出∠FEC=∠B 即可得出结论．

试题解析：（1）连接OC，则∠CAO=∠ACO，

又∠FAC=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF∥CO，

而CD⊥AF，

∴CO⊥CD，

即直线CD是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

又∠FAC=∠CAO

∴AF=AB（三线合一），

∴∠F=∠B，

∵四边形EABC是⊙O的内接四边形，

∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°

∴∠FEC=∠B

∴∠F=∠FEC，

即EC=FC

所以△FEC是等腰三角形．