Question

【题目】阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示。

同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲）

证明：∵AB切⊙O于点A， ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？

请说明理由。

知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F。 求证：EF∥BC。

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论；

知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论．

试题解析：问题拓展：成立．

如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

则∠D=∠P，

∵AD是直径，

∴∠D+∠CAD=90°，

又∵AB切圆于点A，

∴∠CAB+∠CAD=90°，

∴∠CAB=∠CAD，

而∠CAD=∠P，

∴∠CAB=∠P；

知识运用：如图4，连接DF，

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，

∴∠EAD=∠DAC，

∵⊙O与BC切于点D，

∴∠FDC=∠DAC，

∴∠FDC=∠EAD，

∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，

∴∠FDC=∠EFD，

∴EF∥BC．