Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ， 位置关系是；
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）FG=CE；FG∥CE
（2）解：结论仍然成立．

理由：如图2中，设DE与CF交于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四边形EGFC是平行四边形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

【解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE． 理由：如图1中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．
所以答案是：FG=CE，FG∥CE；

【考点精析】通过灵活运用正方形的性质，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．