Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．

（1）求证：△CEF≌△AEF；

（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：AD＝2DE．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)在直角三角形ABC中,E为斜边AB的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F为斜边AD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得证;
(2)由EF为三角形ABD的中点,利用中位线定理得到EF与BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代换得到EF=CD,再由EF与CD平行,得到四边形CEFD为平行四边形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代换得到DE=AF.

证明：（1）∵∠ACB＝90°，且E线段AB中点，

∴CE＝AB＝AE，

∵∠ACD＝90°，F为线段AD中点，

∴AF＝CF＝AD，

在△CEF和△AEF中，

，

∴△CEF≌△AEF（SSS）；

（2）连接DE，

∵点E、F分别是线段AB、AD中点，

∴EF＝BD，EF∥BC，

∵BD＝2CD，

∴EF＝CD．

又∵EF∥BC，

∴四边形CFEDD是平行四边形，

∴DE＝CF，

∵CF＝AF＝FD，

∴AD＝2DE．