Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．M、N分别是AB、CD边的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN；

（2）求线段AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AP= .

【解析】试题分析：（1）因为MN∥BC，可得∠CBN=∠MNB，由∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；

（2）连接AN，由矩形的轴对称性，可得∠PAN=∠CBN，由（1）可知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可得∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；

（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中， ，∴，解得：x=，所以AP=．