Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．

（1）求证：DB=DE；

（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)36

【解析】试题分析：（1）据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；（2）由（1）知，DB=DE，再由DF⊥BE，根据等腰三角形的三线合一的性质可得DF垂直平分BE，再由∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，可得∠CDF=30°，因为CF=3，根据30°角直角三角形的性质可得DC=6，即可得AC=12，所以△ABC的周长为36．

试题解析：

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠DBC=30°（等腰三角形三线合一），

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角对等边）．

（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB=DE，

∴DF垂直平分BE，

∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，

∴∠CDF=30°，

∵CF=3，

∴DC=6，

∵AD=CD，

∴AC=12，

∴△ABC的周长=3AC=36．