Question

【题目】如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；

②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.

①∵等边△ABD和等边△BCE，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

在△ABE和△DBC中，

∵，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC，

故①正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB=∠DCB，

又∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，

即∠MBE=∠NBC=60°，

在△MBE和△NBC中，

∵，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM=BN，∠MBE=60°，

则△BMN为等边三角形，

故⑤正确；

∵△BMN为等边三角形，

∴∠BMN=60°,

∵∠ABD=60°,

∴∠BMN=∠ABD，

∴MN//AB，

故②正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，

∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，

∵∠DPM =∠PAC+∠PCA

∴∠DPM =60°，故④正确，

故答案为：①②④⑤.