Question

【题目】如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：

（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由：

（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析 （2）△EOB、△FOC 存在 （3）答案见解析

【解析】

（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．

（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．

（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．

解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：

∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB,

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO,

即EO=EB，FO=FC,

∴EF=EO+OF=BE+CF;

（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））;

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：

同（1）可证得△EOB是等腰三角形；

∵EO∥BC，

∴∠FOC=∠OCG,

∵OC平分∠ACG，

∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，

∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形,

∴EF=EO-FO=BE-FC．