Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）

① △ABE的面积与△BCE的面积相等；② ∠AFG＝∠AGF；③ ∠FAG＝2∠ACF；④ BH＝CH

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】根据三角形中线的性质可得:△ABE的面积和△BCE的面积相等,故①正确,

因为∠BAC＝90°,所以∠AFG+∠ACF=90°,因为AD是高,所以∠DGC+∠DCG=90°,

因为CF是角平分线,所以∠ACF=∠DCG,所以∠AFG=∠DGC,又因为∠DGC=∠AGF,所以

∠AFG＝∠AGF,故②正确,

因为∠FAG+∠ABC=90°, ∠ACB+∠ABC=90°,所以∠FAG=∠ACB,又因为CF是角平分线,所以∠ACB＝2∠ACF,所以∠FAG＝2∠ACF,故③正确,

④假设BH＝CH, ∠ACB=30°,则∠HBC=∠HCB =15°, ∠ABC=60°,

所以∠ABE=60°－15°=45°,因为∠BAC＝90°,所以AB=AE,因为AE=EC,所以AB=,这与在直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半相矛盾,所以假设不成立,故④不一定正确,

故选A.