Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形，证明见解析.

【解析】（1）根据ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行且相等，由AM垂直于BC，CN垂直于AD，得到AM与CN平行，再由平行四边形ABCD，得到BC与AD平行，BC=AD，进而确定出AMCN为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AN=CM，进而得到DN=BM，利用ASA得证；（2）利用菱形的性质可得AC⊥EF，由全等三角形的性质

可得AE=CF，由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论.

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，

∵MA⊥AN，NC⊥BC，∴∠BAM=∠DCN，

在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF，AB=CD，∠BAM=∠DCN，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．

∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，

∵MA⊥AN，NC⊥BC，∴AM∥CN，∴四边形AECF为平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形．

“点睛”此题考查了平行四边形和菱形判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．