Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．

　　　　　　　　　　　　

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形；（3）

【解析】试题分析：（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．

（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．

试题解析：解：（1）△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．

（选证一）△BDE≌△FEC．

证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．

∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．

（选证二）△BCE≌△FDC．

证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．

又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．

∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．

（选证三）△ABE≌△ACF．

证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．

∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．

∵EF=AE，△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF．

（2）由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．

（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四边形ABEF是梯形．

过E作EG⊥AB于G，则EG=，∴

．