Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）梯形、矩形、正方形；（2）答案见解析

【解析】试题分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选两个即可；

（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．分两种情况证明：当BC与CE不在同一条直线上时，60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长；当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长．

试题解析：解：（1）梯形、矩形、正方形；

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，

且∠AOD=60度．

求证：BC+AD≥AC．

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．

连接CE，BE．

故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．

∵AC=DE，AC=BD，∴DE=BD．

∵∠EDO=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BE=AC．

①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），

在△BCE中，有BC+CE＞BE，∴BC+AD＞AC．

②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），

则BC+CE=BE．

因此BC+AD=AC

综合①、②，得BC+AD≥AC．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．