Question

【题目】为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课上，老师给出菱形ABCD如图1，并作出了一个四边形ABC′D．具体作图过程如下：
如图2，在菱形ABCD中，
①连接BD，以点B为圆心，以BD的长为半径作圆弧，交CD于点P；
②分别以B、D为圆心，以BC、PC的长为半径作圆弧，两弧交于点C′．
③连接BC′、DC′，得四边形ABC′D．

依据上述作图过程，解决以下问题：
（1）求证：∠A=∠C′；AD=BC′．
（2）根据作图过程和（1）中的结论，说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是命题．（填写“真”或“假”）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BP，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，∠A=∠BCD，

根据题意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，

∴AD=BC′，

在△BPC和△BDC′中，

，

∴△BPC≌△BDC′（SSS），

∴∠BCD=∠C′，

∴∠A=∠C′

（2）假
【解析】证明：（2）由（1）可知四边形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，但四边形ABC′D不是菱形，
所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是假命题，
所以答案是：假．

【考点精析】掌握菱形的判定方法和命题与定理是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；经过证明被确认正确的命题叫做定理．