Question

【题目】如图，在半径为 的 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ， 过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是等腰三角形时，线段 的长为____．

Answer 1

【答案】或8或

【解析】试题分析：①当BA＝BP时，

易得AB＝BP＝BC＝8，即线段BC的长为8．

②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4，

∴BD＝DP，

在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，

∴OE＝3，

易得△AOE∽△ABD，

∴，

∴BD＝，

∴BD＝PD＝，即PB＝，

∵AB＝AP＝8，

∴∠ABD＝∠P，

∵∠PAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，

∴CP＝，

∴BC＝CP－BP＝＝；

③当PA＝PB时

如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，

则PF⊥AB，

∴AF＝FB＝4，

在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，

∴OF＝3，

∴FP＝8，

易得△PFB∽△CGB，

∴，

设BG＝t，则CG＝2t，

易得∠PAF＝∠ACG，

∵∠AFP＝∠AGC＝90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t ，

在Rt△BCG中，BC＝t＝，

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，

故答案为：8，，．