Question

【题目】如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA, CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析: （证法一）: 连接OE，DE根据已知条件可证得∠1=∠2，∠3=∠4，再由∴∠1+∠3=∠2+∠4 ，即可证得∠OEG=∠ODG=90°，结论得证；（证法二）：连接OE，OG，证得OG∥AC，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据等腰三角形的的性质可得∠2=∠4，即可得∠1=∠3，利用SAS证得△OEG≌△ODG，即可得∠OEG=∠ODG=90°，结论得证.

试题解析:

（证法一）

证明：连接OE，DE ,

∵CD是⊙O的直径,

∴∠AED=∠CED=90°,

∵G是AD的中点，

∴EG= AD=DG，∴∠1=∠2；

∵OE=OD，∴∠3=∠4 ，

∴∠1+∠3=∠2+∠4 ，

∴∠OEG=∠ODG=90°，

故GE是⊙O的切线。

（证法二）

证明：连接OE，OG，

∵AG=GD，CO=OD，

∴OG∥AC ，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OE，∴∠2=∠4，

∴∠1=∠3 ，

又OE=OD，OG=OG，

∴△OEG≌△ODG，

∴∠OEG=∠ODG=90°，

∴GE是⊙O的切线．