Question

【题目】阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系。

（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系，并说明理由；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，

（3）将菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如图3，P为DF的中点，此时PG与PC的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案。

Answer 1

【答案】（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC（2）没有发生变化 (3)PG⊥PC，PG=PC

【解析】分析：（1）根据题意可知小颖的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；
（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

（3）思路同上，延长GP交CD于H，连接CG，证明△GFP≌△HDP即可.

详解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC．

理由：延长GP，交CD于点H，

∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，

∴CD∥AB∥GF，

∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，

∵P是线段DF的中点，

∴DP=PF，

在△DPH和△FGP中，

，

∴△DPH≌△FGP（AAS），

∴PH=PG，DH=GF，

∵CD=BC，GF=GB=DH，

∴CH=CG，

∴CP⊥HG，

即PG⊥PC；

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，

∵P是线段DF的中点，

∴FP=DP，

∵AD∥FG，

∴∠GFP=∠HDP．

又∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP

∴GP=HP，GF=HD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．

由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，

∴∠GBC=60°．

∴∠HDC=∠GBC．

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF=GB．

∵△HDC≌△GBC．

∴CH=CG．

∴PH=PG，PG⊥PC．

(3)PG⊥PC，PG=PC.