Question

【题目】如图1，边长为2的正方形ABCD中，点P在AB边上（不与点A、B重合），点Q在BC边上（不与点B、C重合）
第一次操作：将线段PQ绕点Q顺时针旋转，当点P落在正方形上时，记为点M；
第二次操作：将线段QM绕点M顺时针旋转，当点Q落在正方形上时，记为点N；
依次操作下去…

（1）如图2，经过两次操作后得到△PQD、△PQD的形状是 ， 求此时线段PQ的长 ；
（2）若经过三次操作可得到四边形PQMN．
①请直接判断四边形PQMN的形状，直接写出此时此刻AP与BQ的数量关系；
②以①中的结论为前提，直接写出四边形PQMN的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）等边三角形,解：由旋转得：DP=PQ=DQ,∴△PQD的形状为等边三角形,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=BC=AB,∠A=∠B=∠C=90°,∵DP=DQ,∴Rt△ADP≌Rt△CDQ,∴AP=CQ,∴BP=BQ,∴△BPQ是等腰直角三角形,设BP的长为x,则PQ= x,∴AP=2﹣x,∵在Rt△ADP中,DP2=AD2+AP2,DP=PQ,∴（ x）2=22+（2﹣x）2,∴x2+4x﹣8=0,解得：x1=﹣2+2 ,x2=﹣2﹣2 （不合题意,舍去）,∵PQ= x= （﹣2+2 ）=﹣2 +2 ；
（2）解：①四边形PQMN的形状为正方形，此时AP=BQ．理由如下：

如图所示：

由旋转性质可知，PQ=QM=MN=NP，

∴四边形PQMN是菱形，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠QPN=90°，∠2=∠4．

∴四边形PQMN是正方形；

在△APN和△BQP中，

∴△APN≌△BQP（AAS）

∴AP=BQ．

②利用①中结论得：△APN、△BQP、△CMQ、△DNM均为全等三角形，

∴BQ=CM=DN=AP=x，AN=BP=CQ=DM=2﹣x．

∴四边形PQMN的面积S=S正方形ABCD﹣4S△APN=2×2﹣4× x（2﹣x）=2x2﹣4x+4，

∴S=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），

∵y=2（x﹣1）2+2，

∴当x=1时，S有最小值2；

当x=0时，S=4，

∴四边形PQMN的面积S取值范围是2≤S＜4．

【解析】（1）根据HL证明Rt△ADP≌Rt△CDQ，得AP=CQ，所以△BPQ是等腰直角三角形，设BP的长为x，则PQ= x，根据勾股定理列方程，解方程即可得PQ的长；（2）①由旋转性质可知，PQ=QM=MN=NP，求出四边形PQMN是菱形，再证出∠QPN=90°，得出四边形PQMN是正方形；由AAS证明△APN≌△BQP，得出AP=BQ即可．②利用①中结论得：△APN、△BQP、△CMQ、△DNM均为全等三角形，得出BQ=CM=DN=AP=x，AN=BP=CQ=DM=2﹣x．四边形PQMN的面积S=S正方形ABCD﹣4S△APN=2x2﹣4x+4，由二次函数的性质即可得出答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了)．