Question

【题目】如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,连接OD.

（1）求证:△COD是等边三角形.
（2）当α=150°时,试判断△AOD的形状.
（3）探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?

Answer 1

【答案】
（1）证明:由旋转的性质知△ADC≌△BOC,
∴DC=OC.
又∵∠DCO=60°,∴△COD是等边三角形
（2）解：∵由旋转的性质知△ADC≌△BOC,
∴α=∠ADC=150°,
∵△COD是等边三角形.
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=90°.
∴△AOD是直角三角形.
（3）解:∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,
∠DAO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
若∠ADO=∠AOD,即α-60°=190°-α,∴α=125°;
若∠ADO=∠DAO,即α-60°=50°,∴α=110°;
若∠AOD=∠DAO,即190°-α=50°.∴α=140°.
综上所述,当α=125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
【解析】（1）根据旋转的性质得出DC=OC及∠DCO=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可证得结论。
（2）根据旋转的性质得到△ADC≌△BOC，再根据全等三角形的性质求出∠ADC的度数，再根据等边三角形的性质求出∠ODC的度数，然后根据∠ADO=∠ADC-∠ODC，求出∠ADO的度数，就可判断△AOD的形状。
（3）根据旋转的性质分别用含α的式子表示出∠AOD,∠ADO，∠DAO的度数，再分三种情况讨论：∠ADO=∠AOD；∠ADO=∠DAO；∠AOD=∠DAO，计算即可求出满足条件的α的值。