Question

【题目】如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角，（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）

（1）如图1所示，O为直线AB上一点，OC⊥AB，OE⊥OD，图中哪些角互为垂角？（写出所有情况）

（2）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°（0°＜n＜120），OA旋转得到OA′，OC旋转得到OC′，当n为何值时，∠AOC′与∠BOA′互为垂角？

Answer 1

【答案】（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；（2）当n＝15°或n＝105°，∠AOC′与∠BOA′互为垂角．

【解析】

（1）根据互为垂角的定义即可求解；

（2）分别表示出旋转后∠AOC′和∠BOA′的度数，然后根据互为垂角定义列绝对值方程即可解答．

解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；

理由：∵OE⊥OD，OC⊥AB，

∴∠EOB﹣∠DOB＝∠EOD＝90°；∠EOB﹣∠EOC＝∠COB＝90°；∠AOD﹣∠COD＝∠AOC＝90°；∠AOD﹣∠AOE＝∠EOD＝90°；

（2）如图：∵∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°

∴∠AOC＝60°+n°，∠BOA′＝180°﹣n°

∴|（60°+n°）﹣（180°﹣n°）|＝90°

∴2n°﹣120°＝±90°，

∴n＝15°或n＝105°

将∠AOC绕点O顺时针旋转15°或105°时，∠AOC′与∠BOA′互为垂角．