Question

【题目】综合题
（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分线上一点，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（2）解：结论AM=MN还成立

证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE，

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分线上一点，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN

（3）解：若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则当∠AMN= 时,结论AM=MN仍然成立．
【解析】（1）根据正方形的性质四边相等，四角都是90°，得到△AEM≌△MCN，根据全等三角形的对应边相等，得到AM=MN；（2）根据正三角形的性质三个角都是60°，三边相等，得到△AEM≌△MCN，得到AM=MN；（3）根据规律得到当∠AMN=(n2)·180°÷n时，结论AM=MN仍然成立．