Question

【题目】已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．

Answer 1

【答案】解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2 ，
即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），
∵a为质数，
∴c+b=a2 ， c﹣b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2 ，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
【解析】由勾股定理变形得a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），根据a为质数可得c+b=a2 ， c﹣b=1，于是可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）可得证。