Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标；

(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)；

（2）M点坐标为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)；

（3）在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．

【解析】试题分析：（1）在中令，解得，

∴A(4，0) 、D(－2，0).

在中令，得，∴C(0，－3).

（2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标.

（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.

试题解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)

（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.

设直线AC的解析式为，则，解得.

∴直线AC的解析式为.

∵的对称轴是直线，

把x=1代入得

`∴M(1， ).

（3）存在，分两种情况：

①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).

②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，

∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)

设直线AB的解析式为，则，解得.

∴直线AB的解析式为.

∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.

∵点C在直线CP上，∴.

∴直线CP的解析式为.

联立，解得，

∴P(6，6).

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).