Question

【题目】如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：

①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ．

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想．

（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，从而可证得△DNE≌△EBF，继而证得结论；

（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根据角平分线的性质可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，通过证△DNE≌△EBF，从而得结论.

（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，

∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，在△DNE和△EBF中， ∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．

（2）DE=EF，理由如下：

在DA边上截取DN=EB，连接NE，∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN为等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣45°=135°，∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90°+45°=135°，∴∠DNE=∠EBF， ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF，在△DNE和△EBF中，∴△DNE≌△EBF（ASA）， ∴DE=EF．