Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm；动点P从点C开始沿CA以2cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BC以 2cm/s的速度向点C移动．如果P、Q、R分别从C、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．

（1）∠CAB的度数是 ；

（2）以CB为直径的⊙O与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O相切？

（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；

（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）t=3s时，PM与⊙O相切；（3）当t=3s时，cm2；（4）当s时，△APQ是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）根据题意和正切的定义以及特殊角的三角函数值解答即可；

（2）连接OP，OM，根据切线的性质得到∠PMO=90°，证明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等边三角形，根据等边三角形的性质和正切的概念解答；

（3）过点Q作QE⊥AC于点E，根据余弦的概念用t表示出QE，根据三角形的面积公式和二次函数的性质解答；

（4）分PQ1=AQ1=4t、AP=AQ2=4t、PA=PQ3=4t三种情况，作出辅助线，根据等腰三角形的性质计算即可．

解：（1）∵∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm，

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=30°，

故答案为：30°；

（2）如图1，连接OP，OM．

当PM与⊙O相切时，有∠PMO=∠PCO=90°，

∵MO=CO，PO=PO，

∴Rt△PMO≌Rt△PCO，

∴∠MOP=∠COP；

由（1）知∠OBA=60°，

∵OM=OB，

∴△OBM是等边三角形，

∴∠BOM=60°，

∴∠MOP=∠COP=60°，

∴CP=COtan∠COP=6tan60°=，

又∵

∴t=

∴t=3，

即：t=3s时，PM与⊙O相切；

（3）如图2，过点Q作QE⊥AC于点E，

∵∠BAC=30°，AQ=4t，

∴AE=AQcos∠BAC=4tcos30°=，

∴==；

∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR

=

=

=（0＜t＜6），

∴当t=3s时，cm2；

（4）存在．如图3，分三种情况：

①PQ1=AQ1=4t时，过点Q1作Q1D⊥AC于点D，

则，

∴，

∴t=2；

②当AP=AQ2=4t时，

∵，

∴=，

③当PA=PQ3=4t时，

过点P作PH⊥AB于点H，

AH=PAcos30°==18﹣3tAQ3=2AH=36﹣6t，

∴36﹣6t=4t，

∴t=3.6，

综上所述，当s时，△APQ是等腰三角形．