Question

【题目】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）+

【解析】分析：（1）延长EB交DG于点H，先证出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根据∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）过点A作AP⊥BD交BD于点P，根据△DAG≌△BAE得出DG=BE，根据AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，再根据DG=DP+PG求出DG，最后根据DG=BE即可得出答案．

详解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，

∵ABCD和AEFG为正方形，

∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△ABE，

∴∠AGD=∠AEB，

∵∠HBG=∠EBA，

∴∠HGB+∠HBG=90°，

∴DG⊥BE；

（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，

∵ABCD和AEFG为正方形，

∴在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS），

∴DG=BE，

∵AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，

∴AP=DP=，

∵AG=2，∴PG==，

∴DG=DP+PG=+，

∵DG=BE，∴BE=+．