Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；
（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB= ，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵AM=DM，

∴△AEM≌△DFM．

∴AE=DF

（2）

解：答：△GEF是等腰直角三角形．证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四边形ABGH是矩形．

∴GH=AB=2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠GMH．

∴△AEM≌△HMG．

∴ME=MG．

∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，

∴ME=MF．

∵MG⊥EF，

∴GE=GF．

∴∠EGF=2∠EGM=90°．

∴△GEF是等腰直角三角形

（3）

解：①当C、G重合时，如图4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°．

∵MG⊥EF，

∴∠EMG=90°．

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC

∴ ，

∴ ，

∴AE=

∴ ＜AE≤ ．

②△GEF是等边三角形．

证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四边形ABGH是矩形．

∴GH=AB= ．

∵MG⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠GMH．

又∵∠A=∠GHM=90°，

∴△AEM∽△HMG．

∴ ．在Rt△GME中，

∴tan∠MEG= = ．

∴∠MEG=60°．

由（1）得△AEM≌△DFM．

∴ME=MF．

∵MG⊥EF，

∴GE=GF．

∴△GEF是等边三角形

【解析】（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论．（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出 ，从而求出tan∠MEG= ，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．