Question

【题目】已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如图2，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK= ∠BAP+ ∠DCP= （∠BAP+∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC；

（3）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如图3，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK﹣∠DCK= ∠BAP﹣ ∠DCP= （∠BAP﹣∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC．

【解析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP，进而可得到问题的答案；
（3）过K作KE∥AB，依据平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=（∠BAP-∠DCP）=∠APC，进而得到∠AKC=∠APC.
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的性质(两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补)．