Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（ ）

A.①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤

Answer 1

【答案】D．

【解析】

试题解析：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∴△APD≌△AEB（故①正确）；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED（故③正确）；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵BE=，

∴BF=EF=（故②不正确）；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，

∴EP=，

又∵PB=，

∴BE=，

∵△APD≌△AEB，

∴PD=BE=，

∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE

=×（4+）-××

=+．（故④不正确）．

⑤∵EF=BF=，AE=1，

∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，

∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；

故选D．