Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，

∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，

∴∠BCO+∠COB=90°，

∵EF⊥OG，

∴∠FEB+∠FOE=90°，

而∠COB=∠FOE，

∴∠FEB=∠ECF；

（2）解：连接OD，如图，

∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，

∴CD=CB=6，OD⊥CE，

∴CE=CD+DE=6+4=10，

在Rt△BCE中，BE= =8，

设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，

在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，

∴OE=8﹣3=5，

在Rt△OBC中，OC= =3 ，

∵∠COB=∠FOE，

∴△OEF∽△OCB，

∴ = ，即 = ，

∴EF=2 ．

【解析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2 ， 解得r=3，所以OE=5，OC=3 ，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握垂径定理(垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)的相关知识才是答题的关键．