Question

【题目】已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点，点、分别是线段、的中点.以下个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分.正确的是( )

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据∠ACB=∠DCE求出∠ACD=∠BCE,证出即可得出结论，故可判断；

②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB，故可判断；

③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS可求出,推出CM=CN，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断的形状；

④在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP，根据，可求出∠CEO=∠CDP,根据SAS可求出 ,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE，故可判断.

①正确，理由如下：

∵,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

即∠ACD=∠BCE,

又∵CA=CB,CD=CE,

∴(SAS),

∴AD=BE,

故①正确；

②正确，理由如下：

由①知，，

∴∠CAD=∠CBE,

∵∠DOB为的外角,

∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC,

∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,

∴∠CBA+∠BAC=180°-α,

即∠DOB=180°-α,

故②正确；

③错误，理由如下：

∵点、分别是线段、的中点,

∴AM= AD,BN= BE,

又∵由①知，AD=BE,

∴AM=BN,

又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,

∴(SAS),

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN,

∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,

∴为等腰三角形且∠MCN=α,

∴不是等边三角形，

故③错误；

④正确，理由如下：

如图所示，在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP，

由①知，，

∴∠CEO=∠CDP,

又∵CE=CD,EO=DP,

∴(SAS),

∴∠COE=∠CPD,CP=CO,

∴∠CPO=∠COP,

∴∠COP=∠COE,

即OC平分∠AOE,

故④正确；

故答案为：B.