Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．

【解析】

（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；

（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数.

（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，

∴∠FDC＝36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CO＝OD，

∴∠ODC＝∠DCO＝54°，

∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．