Question

【题目】新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin ， 且满足 ，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣ x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，

∵y=x+a为三角形函数，

∴ ，

∴a＞1；

（2）

解：是三角形函数，理由如下：

∵对称轴为直线 ，0≤x≤1，

∴当 ，

∴ ，

∴它是三角形函数；

（3）

解：∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，

∴ ，若a为最小，c为最大，则有 ，同理当b为最小，c为最大时也可得 ，

∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，

∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，

∴对称轴为直线x=m，

①当m≤0时，当x=0，ymin=1，

当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，

∴无解；

②当 ， ，当x=1，ymax=﹣2m+2， ，

解得0＜m＜1，

∴ ；

③当 ， ，当x=0，ymax=1，则 ，

解得 ，

∴ ；

④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则 ，

解得 ，

∴无解；

综上述可知m的取值范围为 或 ．

【解析】（1）由函数的性质可求得其最大值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的不等式组，可求得a的取值范围；（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其最大值和最小值，满足三角形函数的定义；（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2﹣2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的不等式组，即可求得m所满足的不等式，可求得m的取值范围．