Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若，求证：AE=AO；

（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）∠E=30°；（3）

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；

（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，AD=，求出答案即可．

试题解析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC=CG，

∴，

∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵OC∥BD，

∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴，

∴，

∵OA=OB，

∴AE=OA=OB，

∴OC=OE，

∵∠ECO=90°，

∴∠E=30°；

（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°

∴∠EBD=60°，

∴∠CBD=∠EBD=30°，

∵CD=2，

∴BD=6，DE=6，BE=12，

∴AE=BE=4，

∴AH=2，

∴EH=2，

∴DH=4，

在Rt△DAH中，AD==2．