Question

【题目】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）

∴将A与B两点坐标代入得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x

（2）

解：设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1

∴直线OB的解析式为y=x，

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，

∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，

∴可设D（x，x2﹣3x），

又∵点D在直线y=x﹣m上，

∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，

∵抛物线与直线只有一个公共点，

∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D点的坐标为（2，﹣2）

（3）

解：∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2= ，

∴直线A′B的解析式是y= ，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即点N在直线A′B上，

∴设点N（n， ），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，

∴ =n2﹣3n，

解得：n1=﹣ ，n2=4（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（﹣ ， ）．

方法一：

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1（- ，- ），B1（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴ ，

∴点P1的坐标为（- ，- ）．

将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（ ， ），

综上所述，点P的坐标是（- ，- ）或（ ， ）．

方法二：

如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，

则N2（ ， ），B2（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，

∴△P1OD∽△N2OB2，

∴ ，

∴点P1的坐标为（ ， ）．

将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（- ，- ），

综上所述，点P的坐标是（- ，- ）或（ ， ）．

方法三：

∵直线OB：y=x是一三象限平分线，

∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），

∴ 得：x1=4（舍），x2=﹣ ，

∴N（﹣ ， ），

∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x，

∵lOD：y=x，

∴OD⊥OB，

∵△POD∽△NOB，

∴N（﹣ ， ）旋转90°后N1（ ， ）或N关于x轴对称点N2（﹣ ，﹣ ），

∵OB=4 ，OD=2 ，

∴ ，

∵P为ON1或ON2中点，

∴P1（ ， ），P2（- ，- ）．

【解析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．