Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=ABAD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，若四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且∠DCB=∠DAB，则∠DAB=°．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长？

Answer 1

【答案】
（1）120
（2）证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°，

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，

∴∠D=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD，

∴四边形ABCD为“可分四边形”

（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，

∴AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB=90°，

∴AB= = =2 ，

∴AD= = = ．

【解析】（1）解：如图所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠4，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，

∵∠1+∠D+∠4=180°，

∴∠1+2∠1=180°，

解得：∠1=60°，

∴∠DAB=120°；

所以答案是：120；

【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和勾股定理的概念，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．