Question

【题目】请参照下面探究过程，完成所提出的问题．

(1)如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点．

若∠A＝30°，则∠BOC＝ ；

若∠A＝α，则∠BOC＝ (用含α的代数式表示)

(2)如图2，在四边形ABDC中，点O是∠ABD和∠ACD外角平分线的交点，写出∠A、∠D与∠O之间的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在四边形ABDC中，∠ABD和∠ACD外角的n等分线交于O，使∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO．直接写出∠A、∠D和∠O之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）105°，90°+；（2）；（3）.

【解析】

（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；

（2）设AC与BO的交点为M，延长BD交AC于N，根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠A、∠D与∠O之间的数量关系；

（3）设AC与BO的交点为M，根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，可得到，，将前式代入即可得到结论.

（1）∵∠A=30°，

∴∠ABC+∠ACB=150°，

∵BO、CO是角平分线，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠BCO，

∴∠OBC+∠BCO=75°，

∵∠OBC+∠BCO+∠BOC=180°，

∴∠BOC=105°；

如图，在中，是与的平分线和的交点，

（2）设AC与BO的交点为M，延长BD交AC于N，如图所示：

∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°,

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABM

∵BM是∠ABD的平分线，

∴∠ABM=∠ABD，

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABD

∵∠AMB=∠CMO，

∴∠CMO=180°-∠A-∠ABD，

∵

∴

=

=

∴

∵∠DNC是△ABN的外角，

∴∠DNC=∠A+∠ABN，

∵∠ACD与∠ACE互为邻补角，

∴∠ACD=180°-∠ACE，

∵∠BDC是△DCN的外角，

∴

=

=

=

（3）设AC与BO的交点为M，如图所示：

∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°，

∴∠AMB=180°-∠A-∠ABM

∵∠AMB=∠CMO，

∴∠CMO=180°-∠A-∠ABM，

∵

∴

=

=

∴

∵

∴

∵∠ACD+∠ACE=180°

∴∠ACD=180°-∠ACE

∵∠ABD＝n∠ABO，∠ACE＝n∠ACO，

∴∠D=

=

=

=

=

=