Question

【题目】已知如图：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）图中有几个等腰三角形？试说明理由，并请指出EF与BE、CF间有怎样的关系？

（2）若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F（如图2），请直接写出EF与BE、CF间的关系，不用证明.

Answer 1

【答案】（1）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；（2）EF=BE-CF

【解析】试题分析:(1)根据角平分线的定义可得: ∠EBO＝∠CBO,∠FCO＝∠BCO,根据两直线平行内错角相等的性质可得:∠EOB＝∠CBO,∠FOC＝∠BCO,等量代换可得:∠EBO＝∠EOB,∠FCO＝∠FOC,利用等角对等边可判定:BE=EO,FO=CF,所以△OBE和△OCF是等腰三角形,又因为EF=OE+OF,所以EF=BE+CF,

(2) 根据角平分线的定义可得: ∠EBO＝∠CBO,∠FCO＝∠OCG,根据两直线平行内错角相等的性质可得:∠EOB＝∠CBO,∠FOC＝∠OCG,等量代换可得:∠EBO＝∠EOB,∠FCO＝∠FOC,利用等角对等边可判定:BE=EO,FO=CF,所以△OBE和△OCF是等腰三角形,又因为EF=OE－OF,所以EF=BE－CF.

试题解析:(1)有2个等腰三角形分别是:等腰△OBE和等腰△OCF,

理由如下：OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠OBC,

∵EF∥BC,

∴∠EOB=∠OBC,

∴∠ABO=∠EOB,

∴EO=EB,

∴△OBE是等腰三角形,

同理FO=FC,△OCF是等腰三角形,

∴EF=OE+OF=BE+CF,

（2）EF=BE-CF.