Question

【题目】如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．

（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，或2 （3）

【解析】

（1）连接PB，由点B在线段PQ的垂直平分线上，推出BP=BQ，由此构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别构建方程求解即可；（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根据S=，计算即可；

（1）如图1中，连接．

在中，，，

点在线段的垂直平分线上，

，

，，

，，

，

解得或（舍弃），

时，点在线段的垂直平分线上．

（2）①如图2中，当时，易知是等腰直角三角形，．

则有，

，

解得．

②如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．

则有：，

，

解得，

综上所述：或时，是以为腰的等腰三角形．

（3）如图4中，连接，作于，作于．则，，可得．

．