Question

【题目】如图1，直线y=﹣ x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．

（1）求点B的坐标．
（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．
（3）如图2，以PQ为直径作⊙I，记⊙I与射线AC的另一个交点为E．

①若 = ，求此时t的值．
②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为是多少?

Answer 1

【答案】
（1）解：将x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，∴C（0，8），

将y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，∴A（6，0），

∵四边形OABC是矩形，∴B（6，8）

（2）解：如图1，

作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，

易证AC=10，sin∠BAC= ，

∴QH=AQsin∠BAC= ，

∴S△ABQ= ；

（3）解：分类：Ⅰ、如图2，

当P在线段OC上，Q在线段AC上时，即3＜＜8时，

易证 =sin∠EQP=sin∠ACO= ，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，

∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2× （8﹣t）=10﹣（16﹣2t），解得t1= ，

Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，

可得16﹣2t=10，解得t2=3，

Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，

可得2t﹣16=10，解得t3=13，

Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，

同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，

∴CP=PQ，∴ （2t﹣16﹣10）= （t﹣8），解得t4=33，

∴t= 或3或13或33；

②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，

∴OP=t=8，

当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，

∵PQ是直径，

∴QF⊥x轴，

∴FQ∥OA，CP=CF=t﹣8，

∴△CQF∽△ACO，

∴ = ，即 = ，

∴t= ，

∴若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜ ，

故答案为：8＜t＜

【解析】（1）将x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，将y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，于是得到结论；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，解直角三角形得到解得t1= ，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，解得t4=33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，求得OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，根据相似三角形的性质得到t= ，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．