Question

【题目】在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：
①AM=CN；
②∠AME=∠BNE；
③BN﹣AM=2；
④S△EMN= ．
上述结论中正确的个数是（　　）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①如图，

在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，
，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
∵AM不一定等于CN，
∴AM不一定等于CN，
∴①错误，
②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，
∴∠AME=∠BNE，
∴②正确，
③由①得，BM=CN，
∵AD=2AB=4，
∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
∴③正确，
④如图，

由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE= AD=2，AM=FN∵tanα= ，
∴AM=AEtanα
∵cosα= ，
∴cos2α= ，
∴ =1+ =1+（ ）2=1+tan2α，
∴ =2（1+tan2α）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
= （AE+BN）×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM
= （AE+BC﹣CN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣CN）×CN
= （AE+BC﹣CF+FN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ （2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣ AE×AM+ AM2
=AE+AEtanα﹣ AE2tanα+ AE2tan2α
=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α
=2（1+tan2α）
= ．
∴④正确．
故选C．
①作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等．
②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到结论正确；
③经过简单的计算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，
④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN ．