Question

【题目】已知，点D、E、F分别是等边△ABC的三条边AB、BC、CA上的点．
（1）如图（1），若ED⊥AB，DF⊥AC，FE⊥BC，求证：△DEF是等边三角形；

（2）如图（2），若AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形；

（3）如图（3），若△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵ED⊥AB，D⊥AC，EF⊥CB，

∴∠BDE=∠DFA=∠FEC=90°，

∴∠BED=∠ADF=∠CFE=30°，

∴∠EDF=∠DFE=∠FED=60°，

∴△DEF是等边三角形．

（2）

证明：如图2中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，

∵AD=BE=CF，

∴BD=EC=AF，

在△ADF、△BED和△CFE中

，

∴△ADF≌△BED≌△CFE，

∴DE=EF=FD，

∴△DEF是等边三角形；

（3）

证明：如图3中，

∵△ABC，△DEF是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，

∴∠BAD+∠ADF=∠ADF+∠AFD=120°，

∴∠AFD=∠BDE，

在△ADF和△BED中，

，

∴△ADF≌△BED（AAS），

同理可得：△ADF≌△CFE，

∴△ADF≌△CFE≌△BED；

∴AD=BE=CF．

【解析】（1）只要证明∠EDF=∠DFE=∠FED=60°即可解决问题．（2）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形；（3）由等边三角形的性质可知∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，所以可得出∠AFD=∠BDE，从而可证得△ADF≌△BED，同理可证得其它三角形全等，利用全等三角形的性质证得结论