Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是等腰三角形，若存在请直接写出点M坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）．(2) ﹣4≤y＜0；(3)存在, 点M的坐标为(1， )或（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，-1）．

【解析】试题分析：

（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中，列方程组解得b、c的值即可得到抛物线的解析式；把所得解析式配方化为“顶点式”可得顶点坐标；

（2）根据（1）中所得抛物线的顶点坐标和点B的坐标结合图形可得本题答案；

（3）设点M的坐标为（1，m），由两点间距离公式（或勾股定理），表达出：CB2、CM2、BM2，再分①CB2=CM2；②CB2=BM2；③CM2=BM2三种情况分别列出关于“m”的方程，解方程即可可得到答案.

试题解析：

（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．

（2）∵在y=x2﹣2x﹣3中，当时， ；当时， ；抛物线顶点坐标为（1，-4），

∴当0＜x＜3时， 的取值范围为：﹣4≤y＜0；.

（3）存在.由（1）和（2）可知，抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3），

∴可设点M的坐标为（1，m），由此可得：CB2=18；CM2= ；BM2=.

①当CB2=CM2时，有，解得： ；

②当CB2=BM2时，有，解得： ；

③当CM2=BM2时，有，解得： ；

综上所述，存在点M使△BCM是等腰三角形，M的坐标为： 、、、、.