Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于两点A（4，0），B（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣3x﹣4

（2）解：如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，

由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，

∴D（0，﹣4），

∵直线y=﹣x+4交抛物线于点C，

∴ 解得， 或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∵直线AC解析式为y=﹣x+4，直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直线BF解析式为y=x+1，

设点F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵点G在直线AC上，

∴﹣ +4= ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直线DF解析式为y= x﹣4，

解 得

∴直线DF和直线AC的交点E（ ， ）．

【解析】（1）直接把点A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4求出a、b的值，进而可得出抛物线的解析式；（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点和轴对称-最短路线问题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．