Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，把△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′，AB边上的点O平移到点O′．

（1）求点B、C的坐标及抛物线的对称轴；

（2）在平移的过程中，设点B关于直线A′C′的对称点为点F，当点F落在直线AC上时，求△ABC平移的距离；

（3）在平移过程中，连接CA′，CO′，求△A′CO′周长的最小值．

Answer 1

【答案】(1)B（1，0），C（0，3）；对称轴是直线x=﹣；

(2)△ABC平移的距离为；

(3)△A′CO′周长的最小值为4+2．

【解析】

试题分析：（1）通过加方程x2﹣x+3=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标，然后利用对称性可确定抛物线的对称轴；

（2）根据轴对称的性质对称BM=FM，由平移的定义可知A′M∥AC，根据平行线分线段成比例定理即可证得AA′=BA′=，从而求得平移的距离为；

（3）过A点作AN⊥x轴，且AN=OC，易证得△NAA′≌△COO′，得出A′N=CO′，根据两点之间线段最短，当△A′CO′周长的最小时，A′在直线NC上，即∠AA′N=∠CA′O，即可根据AAS证得△NAA′≌△COA′，得出AA′=OA′，NA′=NA′，然后根据勾股定理求得CA′=，即可求得三角形周长的最小值．

试题解析：（1）当y=0时， x2﹣x+3=0，解得x1=1，x2=﹣4，则A（﹣4，0），B（1，0），

当x=0时，y=x2﹣x+3=3，则C（0，3）；

抛物线的对称轴是直线x==﹣；

（2）∵点B和点F关于直线A′C′的对称，∴BM=FM，由平移的定义可知A′M∥AC，

∴==1，∴AA′=BA′=AB，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，

∴AA′=BA′=，∴△ABC平移的距离为；

（3）过A点作AN⊥x轴，且AN=OC，

∴∠NAA′=∠COO′=90°，

在△NAA′和△COO′中，

∴△NAA′≌△COO′（ASA），

∴A′N=CO′，

当△A′CO′周长的最小时，A′在直线NC上，

即∠AA′N=∠CA′O，

在△NAA′和△COA′中，

∴△NAA′≌△COA′（AAS），

∴AA′=OA′，NA′=NA′，

∴CA′=CO′，

∵OA=4，

∴AA′=OA′=2，

∴OO′=2，

∴A′O′=4，

∵OC=3，

∴CA′==，

∴△A′CO′周长的最小值为4+2．