Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP．（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）

A.1个B.3个C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，当EF＝AP始终相等时，可推出，由AP的长为定值，而PF的长为变化值可知选项D不正确．从而求出正确的结论的概率．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，

∴，．

（1）在△AEP与△CFP中，

∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，

∴△AEP≌△CFP

∴AE＝CF．（1）正确；

（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，

∴PE＝PF，

又∵∠EPF＝90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．（2）正确；

（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．

∴．（3）正确；

（4）当EF＝AP始终相等时，由勾股定理可得：

则有：，

∵AP的长为定值，而PF的长为变化值，

∴与不可能始终相等，

即EF与AP不可能始终相等，（4）错误，

综上所述，正确的个数有3个，

故正确的结论的概率是．

故选：D．