Question

【题目】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．

（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；

（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．理由见解析；（3）结论：CD=BC+EC．

【解析】

（1）在△ABD和△ACE中，由，得△ABD≌△ACE（SAS），所以，BD=CE，

可得BC=BD+CD=CE+CD；

（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．同（1）△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，所以BD=BC+CD，即CE=BC+CD；

（3）同（1）证△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，所以CD=BC+BD=BC+CE.

（1）如图1中，

∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，

∴∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=CE+CD；

（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．

理由：如图2，由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴BD=BC+CD，

∴CE=BC+CD；

（3）如图3，结论：CD=BC+EC．

理由：由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴CD=BC+BD=BC+CE，